Третья вычислительная революция. Владимир Юровицкий

Владимир ЮровицкийКомпьютерная катастрофа приближаетсяТретья вычислительная революция

Такой компьютер нам не нужен

Математика существует в виде теоретической и прикладной наук. Теоретическая математика есть фундамент прикладной математики.
В свою очередь прикладная математика есть фундамент всех естественнонаучных и технических дисциплин и в значительной степени дисциплин, связанных с человеческими отношениями, например, экономики.
Таким образом, математика есть фундамент современной цивилизации, роль которой невозможно как-либо преуменьшить.
Компьютер и компьютерная технология есть техническая реализация прикладной математики.
И вот анализ положения в области математики показывает громадное неблагополучие в этой области.
Теоретическая математика является высокоразвитой наукой, развитие которой опережает практические требования к ней.
А вот прикладная математика резко отстала от практических потребностей и нуждается в коренном улучшении. Причем неблагополучие прикладной математики содержится в самом ее фундаментальном понятии — понятии числа.
В фундаментальной математике используются три главных типа чисел, находящих свое использование в прикладной математике — целое, рациональное и действительное числа, имеющие богатую и совершенную теорию.
Но в прикладной математике используется гораздо больший набор чисел.
Этот набор состоит из таких чисел:
1. Целое число.
2. Рациональное число.
3. Действительное число.
4. Метрологическое число.
5. Приближенное число.
Целое число понятно.
Рациональные числа ранее в прикладной математике широко использовались, но в настоящее время они почти вышли из использования, осталось разве что в англо-американской финансовой практике, где до сих пор такие числа как 1/4, 3/8 нередки.
Действительные числа также используются в прикладной математике. Это такие числа как е, ?, Ц 2 и т.д. Особенность их состоит в том, что мы можем определить их представление в любой системе счисления с любой степенью детальности, с любым числом значащих разрядов. Но надо отметить, что в прикладной математике количество используемых действительных чисел более чем ограничено. Количество первичных действительных чисел, используемых на практике, вряд ли превысит десяток.
Метрологические числа — главные числа прикладной математики, они возникают в процессе измерений и характеризуются либо относительной, либо абсолютной ошибкой. Метрологическое число имеет, в отличие от чисел в теоретической математике, две характеристиками — номинал и точность (ошибка).
Приближенные числа также чрезвычайно широко применяются в прикладной математике. Они характеризуются числом разрядов в их представлении. Основной источник приближенных чисел — это разнообразные математические таблицы. Например, четырехзначные таблицы представляют собой собрание приближенных чисел с четырьмя десятичными разрядами.
Приближенное число может быть сведено к метрологическому числу, т.е. описано как метрологическое число с абсолютной ошибкой равной половине крайнего правого разряда.
Для математической обработки приближенных чисел были созданы много веков назад специальные правила — Правила приближенных вычислений. Это очень простой свод правил, который использовался в многовековой практике вычислительной деятельности в докомпьютерную эпоху. Например, правило умножение (деления) приближенных чисел: при перемножении (делении) приближенных чисел одинаковой значимость произведения (частного) на единицу меньше значимости сомножителей, а при умножении (делении) разнозначимых чисел значимость произведения (частного) равна наименьшей значимости сомножителей. Известно и правило сложения (вычитания) приближенных чисел. К сожалению, нет же столь простых правил при других математических действиях с приближенными числами. Но так как значительная часть математических операций сводится к четырем элементарным, то этот свод правил давал возможность вести математическую обработку приближенных чисел достаточно эффективно. При этом результат любой математической операции был приближенным числом и конечный результат их обработки также был приближенным числом. А так как любое приближенное число легко сводится к метрологическому, которые и используются на практике, то этим самым задача обработки приближенных чисел в соответствии с требованиями практики решалась достаточно эффективно.
К сожалению, общих правил математической обработки метрологических чисел так и не удалось создать. Но если удавалось метрологические числа свести к приближенным, то задача уже решалась.
Однако, ситуация изменилась коренным образом при появлении компьютера.
В компьютеринге используется два типа чисел:
1. Целые числа.
2. Нецелые, так называемые, реальные числа.
Целые числа используются весьма широко, особенно в логической и символьной обработке.
Рациональные числа в компьютеринге не используются. Но это беда небольшая, так как они практически уже вышли из употребления.
Проблема работы с действительными числами в компьютеринге нашла свое более или менее удовлетворительное решение, мы в принципе можем представить действительное число в компьютере с любой требуемой нам детальностью и обработать их с той степенью точности, которая нам необходима. По крайней мере, практических проблем обработки действительных чисел в компьютере нет. Они появляются в некоторых специальных случаях, представляющих интерес лишь для науки, например, вычислить чисто ? с тысячью или еще большим числом разрядов и т.д.
Но вот с обработкой метрологических и приближенных чисел в компьютеринге произошла настоящая катастрофа. Современная компьютерная технология вообще не умеет с ними работать. Она не умеет не только обрабатывать их, но даже записать их в компьютерном представлении.
Как же работает современная компьютерная технология с метрологическими и приближенными числами? Она берет от этих чисел только номинал, отбрасывая метрологическую или значимостную характеристику, превращает этот номинал в действительное число и обрабатывает его как действительное число.
Но ведь для практики нужны именно метрологические числа. Никакая техника с действительными числами не может работать. Каким образом от “квазидействительного” (естественно, что получаемые числа не являются в сущности действительными, так как обработка идет с ограниченным количеством разрядов) чисел перейти к метрологическим? Для этого используется предположение, что в представлении полученного действительного числа существует некоторое число левых значимых разрядов. Например, если мы получили по расчету, что толщина некоторой балки равна 254,5637764564632 мм, то все, что можно предположить, это то, что какие-то из левых знаков достоверны. Но какие — об этом компьютер не дает даже намеков. И выбор этих достоверных разрядов предлагается осуществлять самому пользователю. И он осуществляет этот выбор только по интуиции.

А всегда ли способна интуиция оказать помощь? Увы, далеко не всегда. Особенно в сложных случаях. Более того, даже предположение о том, что в представлении результата расчета есть достоверные разряды, совсем не очевидно и легко показать, что это может быть и не так.
Приведем пример, когда компьютерный расчет не дает ни одного значащего разряда. Рассмотрим математическую операцию деления 0,1/0,3. Здесь оба числа являются приближенными с одним значащим разрядом. Результат вычисления на компьютере (или калькуляторе) легко получить — 0,3333333333333333333333333. Проверим. 0,1 есть приближенное число, сводящееся к метрологическому числу 0,1±0,05. (оно могло возникнуть в самом компьютере, например, при такой операции 3333333333333333333333333333333,3—3333333333333333333333333333333,2). Аналогично, приближенное число 0,3 сводится к метрологическому числу 0,3±0,05. Значит, результат этой операции есть метрологическое число, границы которого равны 0,05/0,35=0,14285714285714285714285714285714 и 0,15/0,25=0,6. Легко видеть, что получающийся на компьютере результат 0,33333333333333333333333333333333… не содержит ни одного достоверного разряда (вычисления проведены на стандартном калькуляторе WINDOWS). Отсюда также наглядно видно, сколько шума обработал компьютер. А ведь эта операция вполне могла возникнуть и в реальной задаче, и эта целиком шумовая информация могла стать основой дальнейших сложнейших вычислений и дать в конечном итоге результат, который не имеет никакого смысла.
А теперь вернемся к нашей первоначальной задаче. Предположим, она возникла при расчете некоторой нагрузки. Не имея никакой информацию о количестве значащих разрядов, вычислитель предположил, что два левых разряда достоверны, принял в расчете нагрузку, равную 0,33 и сконструировал конструкцию, заложив в нее даже запас прочности в 1,5, т.е. рассчитал конструкцию на предельную нагрузку 0,44. В течение некоторого времени конструкция работала. Но в некоторый момент нагрузка оказалась равной 0,5, и конструкция рухнула. Отчего рухнула конструкция? Вряд ли удалось определить. Ведь эта операция могла возникнуть в гигантской массе сложнейших вычислений, которые просто нечем проверить. Какая это была конструкция? Может стул. А может, самолет, мост или здание. Что произошло дальше? Гибель людей, синяк, убытки, а может судили строителя, свалив все на него? Мы не знаем. Но то, что такие ситуации вполне могут быть, более того, непременно случаются — в этом нет сомнений. Увы, при существующей компьютерной вычислительной технологии они даже не определимы. Никакая комиссия не осмелится сказать, что причина в неправильной вычислительной технологии компьютера, скорее всего найдут какую-то надуманную причину. А невыясненная причина аварии — залог будущих.

Таким образом, с точки зрения прикладной математики компьютерная технология есть шаг назад по отношению к вычислительным технологиям, которые использовали сотни лет назад Ньютон, Непер, Кеплер, фактически, это откат ко временам арабских математиков, которые еще не имели представления о приближенных и метрологических числах.
Еще двадцать лет назад в школах изучали приближенные числа и даже в пятом классе уже знали, как правильно работать с ними. Но в настоящее время практически ни один из современных специалистов по компьютерным технологиям и пользователи компьютера зачастую не знают, чем отличается метрологическое или приближенное число от действительного. Попробуйте задать вопрос любому из пользователей компьютера, чем отличается число 2,50 от числа 2,500. Вряд ли многие ответят. Такое понижение вычислительной культуры, к которому привело внедрение компьютера, можно по праву назвать вычислительной катастрофой.
Отметим, что в кругах специалистов по прикладной математике это было осознано сразу же после создания компьютера. Были предприняты громадные усилия по разработке способов определения точности компьютерной обработки, создано множество методов ее расчета. Но парадокс, что расчеты точности требуют компьютерных ресурсов на порядок больше, чем вычисление номинала, хотя метрологическая или значимостная характеристика определяется числом с одним значащим разрядом. И использовать столь сложные способы для получения этой простейшей характеристики представляется полным абсурдом. Особенно если учесть, что в классической технологии приближенных вычислений эта характеристика определялась самым наглядным образом и была доступной даже десятилетнему ребенку. Более того, нет никакой уверенности, что эти методы определения точности сами по себе дают достоверный результат. Ведь в них используется тот же самый вычислительный механизм. А это то же самое, что поверять точность прибора с помощью его же самого.
И такое понижение вычислительной культуры не проходит бесследно. На сайте www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/disasters.html приведен список крупнейших аварий с человеческими жертвами и с многомиллиардными убытками, которые доказано связаны с недостатками существующей технологии компьютерных вычислений (взрыв ракеты “Ариан” при запуске, гибель норвежской буровой платформы и т.д.). На самом деле таких аварий, а тем более потерь, связанных с затратой ресурсов, гораздо больше. Просто это трудно доказать. Ведь для этого необходимо провести альтернативные метрологически корректные расчеты. Их можно провести пока только вручную, что слишком дорого, а то и просто невозможно, да и нет уже специалистов по ручным вычислениям.
Неправильная вычислительная технология имеет последствия и для самого компьютеринга. На практике метрологические данные редко имеют точность выше трех десятичных знаков (относительная погрешность 0,1%), что соответствует примерно 10 двоичным разрядам. Компьютер же ведет расчеты с тридцатью и более двоичными разрядами (до шестидесяти). Что же обрабатывает компьютер в этих лишних разрядах? Шумы. Мы видим, что подавляющая часть компьютерных ресурсов в настоящее время тратится на обработку не полезной информации, а шумов. Они могут нередко давать результаты, по внешнему виду вполне имеющие какой-то смысл. И зачастую принимаются в качестве результатов и далее используются на практике. Пример этого дает сейсмообработка, в которой значительная часть результатов связана с шумовыми эффектами, для проверки которых бурятся дорогостоящие скважины.
Можно предположить, что имеющиеся и создаваемые в настоящее время суперкомпьютеры с терафлопными мощностями будут обрабатывать в значительной части именно шумы, а не полезную информацию, и объем недостоверных результатов будет возрастать в прогрессивной степени ввиду увеличения объемов вычислительных операций и их усложнения. Ведь даже одна недостоверная операция (типа той, что рассмотрена в примечании) на терарды достоверных может полностью их обесценить. А проверить такие расчеты уже практически невозможно. Только представим себе, что компьютерное моделирование атомного взрыва с целью проверки или создания атомного оружия оказалось неверным не из-за ошибок физической модели, а только из-за неверности компьютерной вычислительной технологии. К чему это может привести — страшно подумать.
Итак, современная компьютерная вычислительная технология в области обработки нецелых данных неверна, не отвечает потребностям современного этапа развития техники, является перманентным источником аварий, катастроф и убытков.
Нужно осознать, что ВСЕ нецелые компьютерные данные являются либо метрологическими, либо приближенными числами. Даже действительные числа используются в формате приближенных ввиду ограниченности форматов их представления. А так как приближенные числа сводятся к метрологическим, то мы может утверждать — все нецелые числа, с которыми может работать компьютер, есть числа метрологические, и обработка их должна осуществляться как метрологических чисел, любая операция с ними должна иметь своим результатом метрологическое число. А идеологии действительного числа нет места в компьютеринге. Эта идеология и эта технология должны быть ликвидированы полностью.
Возможно ли это сделать?
Классическая вычислительная математика довольно многое уже сделала в этом направлении. В ней существовала технология метрологически корректной обработки по крайней мере части метрологических чисел — приближенных чисел, хотя и не во всех необходимых для вычислительной математики операциях. Но это уже дает нам направление дальнейших поисков.
И такие поиски привели к созданию аппроксиметической вычислительной технологии, которая решает поставленную задачу полностью.
Вот ее основные положения.
1. Сведения всех метрологических чисел по определенной процедуре к приближенным числам.
2. Приближенные числа однозначным образом связываются с новым объектом теоретической математики, названным автором аппроксиметом. Аппроксимет есть фундаментальный числовой объект теоретической математики такой же, как целое, рациональное или действительное число.
3. Разрабатывается теоретическая математика аппроксиметов — теория аппроксиметических множеств, аппроксиметическая алгебра, теория функций аппроксиметических переменных, аппроксиметическая топология и геометрия. При такой разработке существенно используется наработанный классической вычислительной математикой опыт работы с приближенными числами.
4. На основе теоретической математики аппроксиметов разрабатывается уже компьютерная технология обработки аппроксиметов — форматы их представления, алгоритмы их обработки.
5. Создаются процедуры ввода метрологических чисел в компьютер в человекочитаемом формате и в формате автоматического ввода, процедуры их преобразования в аппроксиметы, процедуры преобразования аппроксиметов в метрологические числа и представление их на выводе.
6. Создаются сначала симуляторы аппроксиметического процессора в программном виде, а в дальнейшем разрабатываются специальные микропроцессоры с использованием аппроксиметической обработки нецелых данных, которыми заменяют во всех без исключения компьютерах нынешние процессоры, включающие в себя технологию реальных чисел.
7. Создаются микропроцессоры аппроксиметической обработки данных для использования их в разнообразных системах управления.
8. Создаются или модернизируются языки программирования и операционные системы для работы с метрологическими данными.
9. Разрабатывается основное программное обеспечение по обработке метрологических данных.
10. Создаются или модернизируются пользовательские программы обработки метрологических данных.
11. Осуществляется написание учебников, и курсов по изучению работы с метрологическими данными, начиная от школьных учебников, до специальных курсов. Осуществляется пропаганда и разъяснение новой вычислительной культуры и технологии.
Внедрение новой вычислительной технологии будет означать третью вычислительную революцию в истории человечества. Первая была осуществлена арабами путем создания позиционной системы счисления, вторая связана с переходом на компьютерные вычисления, третья связана с переходом к вычислительной обработке метрологических чисел. Ее результаты вряд ли сейчас можно представить, как не могли их представить арабы или создатели первого компьютера.
В настоящее время уже сделано:
1. Разработана теоретическая математика аппроксиметов и написана монография и учебник.
2. Разработаны алгоритмы аппроксиметической обработки на компьютере.
3. Создана бета-версия программного аппроксиметического калькулятора на шесть действий арифметики (в аппроксиметике не четыре арифметических действия, а шесть — сложение, вычитание, умножение и деление аппроксиметов, умножение аппроксимета на целое число и возведение аппроксимета в целую степень).
Для дальнейшей работы в этом направлении необходимо ее финансирование.
Если учесть, что обработка нецелых чисел в современной вычислительной математике и компьютеринге составляет больше половины всей вычислительной деятельности и осуществляется на всех компьютерах, то возможные выгоды даже трудно представить.

Аппроксиметика

Монография по аппроксиметике. Для специалистов по математике и в области компьютеринга.

Обсуждения аппроксиметики в Интернете

http://www.computerra.ru/exclusive/15.html
Аппроксиметика. Теория нового математического объекта “аппроксимета”.
Новая компьютерная технология работы с приближенными числами. Революция в компьютеринге. Восстановление докомпьютерной вычислительной культуры.

http://www.computerra.ru/exclusive/15/gb.html
Дискуссия по Аппроксиметике

На этих двух форумах вы можете наглядно увидеть, как трудно дается людям новое, как все, что превышает их уровень, они стараются облгать, изгадить, унизить. Воодушевляющее чтение.

Сведения об авторских правах
C 1999 Юровицкий В.М.
Последняя проверка:
26 октября 2006

Белые двери от фабрики Гарант.