Посетите нашего спонсора! List Banner Exchange

3.5. Сложение и вычитание

Сложение аппроксиметов осуществляется по общему правилу. Аппроксиметы преобразуются в фундаментальные интервалы. Затем производится сложение фундаментальных интервалов. Результирующий интервал по описанному выше правилу преобразуется в фундаментальный, который затем преобразуется в аппроксимет.

Приведем примеры.

8В0’+8В0’. Переходим к фундаментальным интервалам. 8±0.5 + 8±0.5=16±1=8В1’. Таким образом, мы получаем 8В0’+8В0’=8В1’.

1235Е0’+123Е1’. Переходим к интервалам. 1235±0.5 + 1230±5 = 2465±5.5 = 24650Е-1±55Е-1. Ранг ошибки равен 3.. Свертываем трехкратно полусумму. Получаем результат 25Е2’.

Сравним теперь этот результат в правилами приближенных вычислений. 1235’+123’0 ® 1235+1230 = 2465. Последний значащий разряд суммы равен наибольшей степени значащих разрядов слагаемых. Отсюда получаем приближенное число 246’0.

Сравнивая эти результаты, мы видим, что они расходятся на один разряд по значимости. Дело в том, что полуразность попала в критическую область. Действительно, 55 по правилам свертывается до 6, а затем до 1. Но если чуть-чуть изменить полуразность до 54, то уже получаем свертку 5 и 0. Таким образом, это типичный эффект границы. Граничные значения неустойчивы. И потому здесь вполне можно пользоваться значением, полученным как по аппроксиметическим правилам, так и по правилам приближенных вычислений.

Большой скачок в точности результата - десятикратный - наглядно показывает, что десятичная система не оптимальна для практической математики. В бинарной системе счисления такой граничный эффект мог бы привести не более чем к двукратному скачку по точности, что вполне допустимо.

Решим еще ряд задач. 8В0’+0В0’ ® 8±0.5 + 0±0,5 = 8±1 ® 4В1’.

С точки зрения всей предшествующей математики получили удивительный результат. Аппроксиметический нуль вовсе не является алгебраическим нулем.

Другой еще более поразительный пример:

8В0’ + 0В11’ ® 8±0.5 + 0±1024 = 8±1024.5. Ошибка превышает само значение многократно. Приводя это интервал к фундаментальному, легко получить, что он равен 0±1024, а следовательно и аппроксимет суммы равен 0В11’. Другими словами, алгебраическим нулем оказался вовсе не аппроксиметический нуль, а именно невырожденный аппроксимет.

Результат вполне разумен. Если считать размах ошибки уровнем шума, а главное значение полезным сигналом, то мы имеем случай, когда сигнал находится ниже уровня шума и подавляется им.

126Е1’+500Е-5’=1260±5 + 0.005±0.000005 = 1260.005±5.000005.

Легко видно, что фундаментальный интервал равен 1260±5. Следовательно, сумма 126Е1’+500Е-5’=126Е1’, т.е. второй член является по отношению к первому аппроксимету нулем. Действительно, в данном случае мы имеем А+В=А. Отсюда следует, что с точки зрения алгебры аппроксимет В является алгебраическим нулем.

Смысл этого вполне прозрачен. Если принять, что речь идет о сложении расстояний, то первое число есть километры, а второе - микроны. Здравый смысл говорит, что километры с микронами не складывают. Этот здравый смысл в аппроксиметике присутствует полностью, чего никак не скажешь о существующей технологии компьютерных вычислений, которая дала бы результат 1260.005, который вполне бессмысленен.

Как несложно заметить, аппроксимет 500Е-5’ есть о-малое от 126Е1’.

Таким образом, мы имеем главное правило аппроксиметических вычислений. Операции сложения с о-малыми не производятся. Причем о-малым может быть как невырожденный аппроксимет, так и аппроксиметический нуль. Например, 0В-4’ =о(1В0’). С другой стороны выше мы показали, что 8В0’=о(0В11’).

Это правило может дать очень большую экономию компьютерных ресурсов. Например, если мы вычисляем некоторый убывающий ряд, то как только получаем первый член, являющийся о-малым по отношению к сумме, так сложение оставшихся членов можно не осуществлять и вычисления на этом прекращаются. В некоторых случаях объем вычислений может сократиться в несколько раз. Например, при Фурье-анализе, при вычислении функций через степенные ряды и т.д. Причем количество членов, используемых для вычисления, не фиксируется заранее, а устанавливается применительно к конкретной задаче, более того, к конкретной точке расчета.

Таким образом, сложение в аппроксиметике имеет смысл осуществлять лишь для слагаемых, находящихся во взаимосущественностных отношениях. Если слагаемые не находятся во взаимосущественностных отношениях, то сумма равна слагаемому, являющемуся О-большим по отношению к другому.

Продолжим рассмотрение операции аппроксиметического сложения.

Для аппроксимета #’ любой аппроксимет является о-малым. Для aппроксиметов `#’ и `$’ любой положительный аппроксимет является о-малым, т.е. для любого положительного (или положительно определенного) аппроксимета A `#’+A=`#’ и `$’+A=`$`.

Это же верно и для ,#’ и ,$’ по отношению к отрицательным и отрицательно определенным аппроксиметам.

Сложение отрицательного, отрицательно определенного или знаконеопределенного аппроксимета с `#’ дает уже знаконеопределенный акс #’. Аналогичное верно и для отрицательноопределенного акса по отношению к положительным, положительно определенным и знаконеопределенным аппроксиметам.

Рассмотрим теперь сложение с инфом.

Инф с инфом. Сложение двухсторонних инфов друг с другом и с любым односторонним дает акс.

$Sp’+$Sp’=$Sp’+`$Sp’=$Sp’+,$Sp’=`$Sp’+,$Sp’=#’.

Рассмотрим сложение двух одинаковых знакоопределенных инфов. `$Sp’+`$Sp’® (1/2*Sp+1/2*Sp)= Sp® 1/2*Sp+1® `$S(p+1)’.

Если же степени инфов неодинаковы, то результирующим будет инф с большей степенью.

Упражнения:

Выполнить следующие действия:

12345Е2’+987Е4’, 32В0’+`0В2’, `0В2’+,0В2’. $В0’+$В0’, `$В0+`$B1’, `0В0’+`$В0’.

3.5.1. Алгебраические свойства аппроксиметического сложения

С точки зрения абстрактной алгебры аппроксиметика по отношению к сложению является группой. Но очень своеобразной. В этой группе нет единого абсолютного нуля. Но каждый элемент этой группы имеет собственное нулевое подмножество, включающее в себя все элементы, которые являются о-малыми по отношению к нему.

Отметим также еще важные свойства аппроксиметической группы. Она является коммутативной. А+В=В+А. Но не является ассоциативной. А+(В+С) не всегда равно (А+В)+С.

Приведем пример. Сделаем сложение 1В2’+(1В0’+1В0’). Складывая слагаемые в скобке, получаем результат, как легко видно, 1В1’. Складываем теперь первый член со скобкой. 1В2’+1В1’=4±2+2±1=6±3 = 1102±11. Ранг мантиссы равен 3 (11® 10® 1® 0). Округляя результат трижды, получаем 110® 11В1® 1В3. Результат получаем 1В3’ (8±4).

Теперь осуществляем сложение в порядке (1В2’+1В0’)+1В0’.

Легко видно, что 1В0’=о(1В2’). Действительно, порядок 1В0’ равен 1. Это меньше степени 1В2’. Отсюда 1В0’=о(1В2’). Понятно, что и второе сложение даст тот же самый результат. Таким образом, изменив порядок сложения, мы получили иной результат - 4±2 вместо 8±4.

Является ли это пороком данной математики? Конечно, нет, ибо математика изучает самые различные конструкции. И если неассоциативные группы в алгебре ранее были некоторой малосодержательной экзотикой, то теперь мы имеем важный для практики пример неассоциативной коммутативной алгебры.

Является ли неассоциативность аппроксиметики пороком с точки зрения практической математики? Конечно, это является осложнением расчетов. Но такова сама специфика приближенных вычислений. О том, что математика приближенных вычислений неассоциативна, известно было давно. Об этом постоянно указывается во всех учебниках по приближенным вычислениям.

Это ставит перед специалистами по организации вычислений определенные проблемы. Организация вычислений должна быть адекватна самой предметной области. Таким образом, аппроксиметика вновь потребует специалистов по организации приближенных вычислений, которые сейчас практически вымерли. Ведь сейчас идеология такова, что считается, что использование громадных компьютерных форматов по двадцать и тридцать разрядов позволяет вообще не обращать особого внимания на организацию вычислений. На самом деле это ошибка, которая в аппроксиметике сразу же сказывается. При плохой организации вычислений можно вообще потерять точность, получить результат, не адекватный самой предметной области.

3.5.2. Аппроксиметическое вычитание

При вычитании интервалов полусреднее вычитается, а размахи складываются.

Например, 1B0’-1B0’=0B1’.

Таким образом, вычитание числа из числа дает аппроксиметический нуль более высокой степени.

В алгебре противоположным числом -А называется число, получаемое вычитанием числа из 0 - 0-А. В аппроксиметике противоположное число получается вычитанием данного числа из о-малого от данного: -А=о(А)-А.

Таковы особенности аппроксиметического вычитания. Остальные правила таковы же как для сложения.

 

качественная террасная доска из дпк купить от производителя здесь