Посетите нашего спонсора!

List Banner Exchange

3.10. Аппроксиметические функции

Аппроксиметической функцией является соответствие между одним или несколькими аппроксиметами - аппроксимет-аргументами - и единственным аппроксиметом - аппроксимет-функцией.

Все принципы функционального анализа полностью переносятся на функции аппроксиметического переменного.

Принципиальное различие между теорией приближенного вычисления функций в современной математике и в аппроксиметике заключается в следующем: в современном анализе ставят такую задачу: вычислить некоторую функцию с такой-то точностью. При этом предполагается, что аргумент (аргументы) мы знаем с абсолютной точностью. Аппроксиметика ставит вопрос уже совершенно иначе. Заданы аргументы с некоторой точностью. Определить значение функции и ее точность.

Принципиально решается эта задача стандартным способом: определяется фундаментальный интервал аппроксимет-аргумента, определяется интервал значений функции, этот интервал нормализируется и получается аппроксимет-функция.

Все функции, рассматриваемые в функциональном анализе действительного переменного, автоматически переносятся и на функции аппроксиметического переменного. Однако, есть и некоторые специфические моменты.

Рассмотрим конкретный пример. Требуется вычислить десятичный логарифм от аппроксиметического аргумента 123Е-2’, т.е. lg123E-2’. Интервал аргумента есть 1.23± 0.005. Беря логарифм от границ интервала, получаем интервал-функцию {0.088, 0.091}. Округляем до совпадающих знаков, получаем 0.09, откуда окончательно lg123E-2’=9E-2’. В квазиаппроксиметической форме результат будет 90E-3’2. Таким образом, принципиально вычисление значений функций от аппроксиметов не представляет проблемы.

3.10.1. Аппроксиметический анализ функций

Решим еще одну задачу. Определим lg`0B1’. Интервал равен (0, 1). lg0=-$ . lg1=0. Отсюда получаем lg`0B1’=,#’.

Любой аппроксимет может быть аргументом. Конечно, если функция определена на соответствующем интервале. Например, легко видеть, что lg`#’=#’. Другими словами функция логарифма отображает положительную полуось на всю числовую ось. Но lg #’ не существует, так как в отрицательной области логарифм не определен.

Или, к примеру, легко видеть, что sin #’=0B1’. Функция синус преобразует всю числовую ось в интервал {-1, 1}.

Еще несколько примеров. ln`$’=`$’. Это функциональное значение дает асимптоту функции логарифм в положительном направлении оси. ctg`0’=,$’. Это выражение показывает существование вертикальной асимптоты у функции котангенса в нуле. Таким образом, аппроксиметический способ описания функций с использование особых аппроксиметов позволяет дать краткое и достаточно детальное описание функций.

Из элементарных функций могут составляться более сложные функции. Например, 1/(sin #’)=1/0B1’=$B1’. (cos #’)2 =(0B1’)2=`0B1’, exp(sin #’) = exp 0B1’ = exp {-1, 1} = {0.37, 2.7} ® `0B2’.

Таким образом, аппроксиметика позволяет не только вычислять значения функций, но и их анализировать. Определять области определения, асимптоты, поведение в особых точках и т.д. Этим самым в аппроксиметике исчисление функций является одновременно и их анализом.

3.10.2. Сканирование функций

Важной задачей является не только вычисление значения функции или их анализ, но и построение таблиц или графиков функций. Это требует определенной организации вычислительного процесса.

Сканированием будем называть один из способов организации этого процесса. В этом способе используется вычисление функции на аппроксиметах одного поколения.

Аргумент при сканировании имеет вид: nSp’, где р - фиксировано, а n пробегает желаемый интервал сканирования, например, от 0 до N.

Например, выбирая р=0 в системе бинарных аппроксиметов мы определим значения функции на аппроксиметах 0В0’, 1В0’, 2В0’, 3В0’. Произведем сканирование функции lg x по десятичным аппроксиметам поколения p=0.

В таблице показана табуляция аппроксиметической функции.

Табл.5

n

Аппроксимет
-аргумент

Границы

Функция на границе

Аппроксимет
-функция

 

 

0

-¥

 

0

`0Е0¢

0.5

-0.3

`$E-1¢3

1

1Е0¢

1.5

0.17

0E-1¢2

2

2Е0¢

2.5

0.40

3E-1¢1

3

3Е0¢

3.5

0.54

47E-2¢7

 

На Рис.2 показан фрагмент аппроксиметического графика этой функции.


 


Рис.2. График аппроксиметической функции

Аппроксиметический график представляет собою цепь прямоугольников. Рисуя их огибающую, мы получаем уже не линию, а полосу.

Для сжатия этой полосы-графика можно перейти к построению графика по более старшему поколению, т.е. с меньшей степенью поколения.

Данный способ исследования функций будем называть безапертурным сканированием или сканирование с полной апертурой.

Другой способ сканирования есть апертурное сканирование. При апертурном сканировании сканирующие аргументы не заполняют всю область сканирования, а составляют лишь области, регулярно размещенные на интервале сканирования.

Например, аргумент сканирования может быть записан в виде n*10002B-2’. При этом шаг сканирования есть nB1’. Это сканирование с апертурой 1/8.

Рис.3. Апертурное сканирование

Какое использовать сканирование, видимо, будет определяться практическими требованиями.

Наконец, еще один вид сканирования - это сканирование с предельным разрешением. Это вид апертурного сканирования с переменной степенью. В этом случае аргументы сканирования задаются действительными числами, например, 1, 2, … 1000. Компьютер на самом деле эти действительные числа превращает в аппроксиметы максимально высокого разрешения. Например, если для мантиссы используется 2 байта и 1 байт на степень, то 1 записывается в виде аппроксимета 10000000000000002В-15’, а 16 в виде 10000000000000002В-11’. Далее все расчеты ведутся по обычным правилам аппроксиметических расчетов. Получаемые функции-аппроксиметы имеют предельно возможную в данном процессоре точность. Т.е. ту точность, которую дает и нынешний процессор действительных чисел, но с контролируемой точностью. Таким образом, все расчеты в современных процессорах действительных числах могут осуществляться в аппроксиметическом процессоре, но при этом имеет место полный контроль точности, связанной как с компьютерной, так и с вычислительной технологией.

Правда, в этом случае аргументы имеют переменную степень. Насколько это существенно, может определить лишь практика. Важно лишь, что отсюда следует, что существующий процессор действительных чисел полностью поглощается аппроксиметическим, и нет задач, для которых можно было бы хотя бы теоретически предположить желательность использования процессора действительных чисел.

3.10.3.Трансфокация функций

Еще одним способом организации исследования функции является трансфокация. Под трансфокацией будем понимать определение значения функции по аппроксиметической линии. Трансфокация может вестись от заданного аппроксимета как по восходящей, так и по нисходящей линии. Трансфокация особенно полезна для исследования особых точек функции. Она позволяет существенно сэкономить вычислительные ресурсы при исследовании функций. Например, основную область изменения функции исследуют сканированием, а особо интересные места с помощью трансфокации.

Например, осуществим трансфокацию функции lgx от аппроксимета `0Е2’. Нижняя граница интервал-функции является -$ .  

 

Табл.6

Номер уровня

Аппроксимет-аргумент

Верхняя граница

Функция от границы

Аппроксимет-функция

0

`0E2¢

50

2

#¢

-1

`0E1¢

5

0.7

#¢

-2

`0E0¢

0.5

-0.3

,$E-1¢3

-3

`0E-1¢

0.05

-1

,$E0¢1

-4

`0E-2¢

0.005

-2

,$E0¢2

-5

`0E-3¢

0.0005

-3

,$E0¢3

-6

`0E-4¢

0.00005

-4

,$E0¢4

-7

`0E-5¢

0.000005

-5

,$E0¢5

 

На Рис.2 показан фрагмент аппроксиметического графика этой функции.

 


 


Рис.2. График аппроксиметической функции

Упражнения:

Осуществить нисходящую трансфокацию функции ctg x от x=0E0’. Записать первые десять членов.

3.10.4. Вычисления рядов

Аппроксиметика дает очень эффективный аппарат расчет функций с помощью рядов. Суммирование членов ряда при этом ведется методом накопления в порядке номеров членов ряда. При этом само количество членов ряда фиксировать заранее нет необходимости. Если используются убывающие ряды, то процесс вычисления заканчивается, как только накопленная сумма становится О-большой по отношению к какому-то члену ряда. Например,. вычислим sin x при х=100Е-4’. Ряд для функции синус есть:

Первый член ряда есть 100Е-4’. Куб равен 10Е-7’. Деленное на 16 это составит 17Е-8’. Легко видеть, что это есть о-малое по отношению к 100E-4’, поэтому на этом расчет останавливаем. Результат: sin 100E-4’=100E-4’. Проверяем: sin 0.01005= 0.010049, sin 0.00995= 0.0099498. Результат полностью верен.

Как видим, мы не ставим заранее никаких условий о количестве членов ряда, а количество суммирований определяется автоматически. В обычной практике заранее определяется количество членов суммирования, и объем вычислений превышает в десятки раз, так как каждый последующий член вычислять все сложнее.

Таким образом, аппроксиметический процессор особенно эффективен при вычислении рядов.

3.10.5. Функциональный анализ

Интегрирование функций аппроксиметического переменного не представляет проблем. Особенно просто осуществляется интегрирование функций, определенных безапертурным сканированием на аргументах одного поколения. Задача сводится просто к суммированию аппроксиметов и нормализации степени суммы путем добавлении к степени суммы степени аргументов.

Интегрирование функции, заданной с апертурой, а тем более на аргументах различного поколения является уже более сложной задачей. Здесь уже могут использоваться более сложные формулы интегрирования с использованием формул Симпсона и др. Но этот вопрос требует дальнейшего исследования.

Требует более тщательного исследования и вопрос об осуществлении дифференцирования функций. Здесь возникают некоторые технические проблемы, на которых мы не будем останавливаться.

 

 

Как выбрать семена для газона?