Володя,

пожалуйста, замените мое "решение" прилагаемым файлом. Я
исправил ряд неточностей, кое–что добавил, и улучшил формат.

С уважением,

Французик.

В шифровке

столбец [m,...,n,p] означает точку, если уравнение

х^m + ... + yⁿ = z^p

разрешимо в положительных целых числах x,...,y,z, и тире – в противном случае. Получающуюся морзянку предлагается расшифровывать согласно стандартной таблице:

Можно также воспользоваться (хотя Юровицкий этого не предлагает) латинской морзянкой.

Сам Юровицкий установил, что последний столбец – точка, и, значит, последняя буква – "е". Он так же предполагал, что столбец [4,4,4,4] – тире, что влекло значение "в" для первой буквы. (Очевидно, что [2,2,2] – точка.) Однако, в 1988 году Ноам Элкис (Noam Elkies) нашел нетривиальное решение уравнения

х⁴ + у⁴ + z⁴ = t⁴.

Вот решение Элкиса:

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴.

Позже Роджер Фрай (Roger Frye) нашел следующее наименьшее решение:

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴.

Таким образом, первая буква – "с".

Разрешимость уравнения

х³ + у³ + z³ = t³

хорошо известна с двадцатых годов ХIX века (см. вступление к книге Манина "Кубические формы"), и некоторые решения также приведены Юровицким. Т.о. [3,3,3,3] – точка.

Столбцы [6,15,7], [2,3,4,6,8,5], [3,4,5] и [2,4,8,16,33] – также точки, с такими, например, решениями:

(2¹⁵)⁶ + (2⁶)¹⁵ = (2¹³)⁷,

(5¹²)² + (5⁸)³ + (5⁶)⁴ + (5⁴)⁶ + (5³)⁸ = (5⁵)⁵,

(2⁸)³ + (2⁶)⁴ = (2⁵)⁵,

(4¹⁶)² + (4⁸)⁴ + (4⁴)⁸ + (4²)¹⁶ = 4³³.

Это – частные случаи следующего хорошо известного и легко доказываемого утверждения: если один из показателей m,...,n,p взаимно прост с остальными, то решение существует.

Столбцы [6,15,12] и [6,15,15] – оба тире, т.к их элементы имеют общий делитель 3. Поэтому, если бы решение существовало, то уравнения Ферма с показателем 3 было бы разрешимо, что неверно.

Столбец [3,4,6] – тоже тире. В самом деле, пусть (x,y,z) – решение уравнения

х³ + у⁴ = z⁶.

Тогда u=x/z² и v=y²/z³ – положительные рациональные числа, удовлетворяющие равенству

u³ + v² = 1.

Однако хорошо известно, что последнее уравнение умеет лишь 5 различных решений в рациональных числах:

0³ + (±1)² = 1;

1³ + 0² = 1

(-2)³ + (±3)² =1.

(Говоря "по–научному", соответствующая эллиптическая кривая имеет ранг 0 и кручение 6; т.о. всего 6 рациональных точек, oдна из которых на бесконечности.) В каждом из вышеприведенных решений по крайней мере одна из переменных не является положительной. Поэтому [3,4,6] – тире. Значит, [3,4,12] – тоже тире.

Столбец [6,15,10] – опять же тире, но это гораздо глубже. Рассмотрим решение (x,y,z) уравнения

x⁶ + y¹⁵ = z¹⁰.      (1)

Предположим, что существует простое число р, делящее все три числа x,y,z. Тогда y¹⁵ делится на p¹⁵, а z¹⁰ делится на р¹⁰. Поэтому x⁶=z¹⁰–y¹⁵ делится на р¹⁰, и, следовательно, х делится на р². Значит, x⁶ делится на р¹². Поэтому z¹⁰=x⁶+y¹⁵ делится на р¹², откуда z делится на р², и z¹⁰ делится на р²⁰. Теперь x⁶ =z¹⁰–y¹⁵ делится на р¹⁵, что означает, что х делится на р³, а x⁶ делится на р¹⁸. Тогда y¹⁵ должно делиться на р¹⁸. Значит, у делится на р², а y¹⁵ делится на р³⁰.

Продолжая рассуждать таким образом, получаем, что каждов из чисел x⁶, y¹⁵, z¹⁰ делится на р³⁰. Это дает нам новое, меньшее решение х'=х/р⁵, у'=у/р², z'= z/р³. Если какое–нибудь простое число делит все числа х',у',z', применим к ним ту же процедуру, и т.д. После конечного числа шагов, мы придем к решению (х,у,z) с НОД(х,у,z)=1. Такие решения называются примитивными. Итак,

если уравнение (1) разрешимо (в ненулевых целых числах), то оно имеет примитивное решение.

Пусть (х,у,z) примитивное решение уравнения (1) в ненулевых целых числах. Тогда u=–y³, v=z² и w=x³ дают примитивное решение уравнения

u⁵ + v⁵ = w².

В 1998 году Бьорн Поонен (Bjorn Poonen) доказал, что последнее уравнение не имеет примитивных решений. Значит, исходное уравнение (1) неразрешимо в ненулевых целых числах, т.е. столбец [6,10,15] – тире.

Я полагаю, что столбец [100,100,100,4] – тире, но доказать это не могу. Я также ничего не могу скатать по поводу столбцов [2,4,8,16,32] и [2,4,8,16,8]. Очевидно лишь, что если первый из них – точка, то и второй – точка. Я думаю, что первый из них – тире, а второй – почти наверняка точка.

Итак, варианты:

Всего 6 кириллических вариантов: счищде счищке счищсе счияде счияке счиясе.

Из них первый счищде наиболее вероятен, три последующих маловероятны, а два последних почти невероятны.